Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m (với |m| < 2021) để phương trình

Ta có

     $2^{x-1}={\log }_4\left(x+2m\right)+m$

$\iff 2^{x-1}=\frac{1}{2}{\log }_2\left(x+2m\right)+m$

$\iff 2^x={\log }_2\left(x+2m\right)+2m$

$\iff 2^x+x={\log }_2\left(x+2m\right)+x+2m$

$\iff 2^x+x=2^{{\log }_2\left(x+2m\right)}+{\log }_2\left(x+2m\right)$

Xét hàm số $f\left(x\right)=2^x+x$ ta có $f\text{'}\left(x\right)=2^x\ln 2+1>0\forall x\in ℝ$

Khi đó ta có $f\left(x\right)=f\left({\log }_2\left(x+2m\right)\right)\iff x={\log }_2\left(x+2m\right)\Rightarrow 2m=2^x-x.$

Đặt $g\left(x\right)=2^x-x$ ta có: $g\text{'}\left(x\right)=2^x\ln 2-1.$

$g\text{'}\left(x\right)=0\iff 2^x=\frac{1}{\ln 2}={\left(\ln 2\right)}^{-x}\iff x={\log }_2{\left(\ln 2\right)}^{-1}=-{\log }_2\left(\ln 2\right)=x_0.$

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có nghiệm khi $2m\ge g\left(-{\log }_2\left(\ln 2\right)\right)\iff 2m\ge -0,91\iff m\ge 0,455.$

Kết hợp với điều kiện đề bài ta có $\left\{\begin{array}{l}1\le m<2021\\ m\in \mathbb{Z}\end{array}\right.$

Vậy có 2021 giá trị m thỏa mãn.

Chọn A.