Xét bất phương trình log2^2(2x) - 2(m + 1)log2(x) - 2 < 0

* Hướng dẫn giải

Ta có

     ${\log }_2^{2}2x-2\left(m+1\right){\log }_{2}x-2<0$

$\iff {\left(1+{\log }_{2}x\right)}^2-2\left(m+1\right){\log }_{2}x-2<0$

$\iff {\log }_2^{2}x+2{\log }_{2}x+1-2\left(m+1\right){\log }_{2}x-2<0$

$\iff {\log }_2^{2}x-2m{\log }_{2}x-1<0$

Đặt $t={\log }_{2}x,$ phương trình đã cho trở thành: $t^2-2mt-1<0\left(*\right).$

Ta có $\Delta \text{'}=m^2+1>0\forall m$ nên tập nghiệm của bất phương trình (*) là: $t\in \left(m-\sqrt{m^2+1};m+\sqrt{m^2+1}\right)$

Vì phương trình ban đầu phải có nghiệm thuộc khoảng $x\in \left(\sqrt{2};+\infty \right)\Rightarrow t\in \left(\frac{1}{2};+\infty \right)$ nên phương trình (*) phải có nghiệm $t\in \left(\frac{1}{2};+\infty \right)$.

$\Rightarrow \left(m-\sqrt{m^2+1};m+\sqrt{m^2+1}\right)\cap \left(\frac{1}{2};+\infty \right)\ne \varnothing .$

$\Rightarrow m+\sqrt{m^2+1}>\frac{1}{2}\iff \sqrt{m^2+1}>\frac{1}{2}-m$

$\iff \left[\begin{array}{l}\frac{1}{2}-m<0\\ \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}-m\ge 0\\ m^2+1>m^2-m+\frac{1}{4}\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m>\frac{1}{2}\\ \left\{\begin{array}{l}m\le \frac{1}{2}\\ m>-\frac{3}{4}\end{array}\right.\end{array}\right.\iff m>-\frac{3}{4}$

Vậy $m\in \left(-\frac{3}{4};+\infty \right)$.

Chọn C.