Cho hàm số f(x), hàm số f'(x) = x^3 + ax^2 + bx + c (a, b, c thuộc R)

* Hướng dẫn giải

Đồ thị hàm số $f\text{'}\left(x\right)=x^3+a{x}^2+bx+c$ đi qua các điểm có tọa độ $\left(-1;0\right),\left(0;0\right),\left(1;0\right).$

Khi đó ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}-1+a-b+c=0\\ c=0\\ 1+a+b+c=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=0\\ b=-1\\ c=0\end{array}\right.$

$\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=x^3-x\Rightarrow f"\left(x\right)=3x^2-1.$

Ta có $g\left(x\right)=f\left(f\text{'}\left(x\right)\right)\Rightarrow g\text{'}\left(x\right)=f"\left(x\right).f\text{'}\left(f\text{'}\left(x\right)\right)$

$g\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}f"\left(x\right)=0\\ f\text{'}\left(f\text{'}\left(x\right)\right)=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}3x^2-1=0\iff x=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}\\ f\text{'}\left(x^3-3\right)=0\end{array}\right.$

Ta có: $f\text{'}\left(x\right)=x^3-x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm 1\end{array}\right.,$ do đó $f\text{'}\left(x^3-x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}{x}^3-x=0\\ x^3-x=1\\ x^3-x=-1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=\pm 1\\ x=0\\ x=\pm 1,325\end{array}\right.$

$\Rightarrow$ Phương trình g'(x) = 0 có 7 nghiệm đơn, quan các nghiệm này thì g'(x) đều đổi dấu.

Ta có $g\text{'}\left(2\right)=f"\left(2\right),f\text{'}\left(f\text{'}\left(2\right)\right)=35.f\text{'}\left(6\right)=35.210>0.$

Khi đó ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số y = g(x) có 4 khoảng đồng biến.

Chọn C.