Cho hàm số y = ax^3 + bx^2 + cx + d có đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng

* Hướng dẫn giải

Dựa vào hình vẽ ta thấy: Phương trình f'(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt $x=\pm 1$ nên có dạng $f\text{'}\left(x\right)=k\left(x-1\right)\left(x+1\right).$

Lại có đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ $\left(0;-3\right)\Rightarrow k=3.$

Suy ra $f\text{'}\left(x\right)=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)=3x^3-3.$

Mà $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=3a{x}^2+2bx+c.$

Đồng nhất hệ số ta có: $\left\{\begin{array}{l}3a=3\\ 2b=0\\ c=-3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=0\\ c=-3\end{array}\right.\Rightarrow f\left(x\right)=x^3-3x+d.$

Theo bài ra ta có: Đồ thị hàm số $f\left(x\right)=x^3-3x+d$ tiếp xúc với đường y = 4 tại điểm có hoành độ dương nên $\left\{\begin{array}{l}{x}^3-3x+d=4\\ 3x^3-3=0\\ x>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ d=6\end{array}\right.\Rightarrow f\left(x\right)=x^3-3x+6.$

Xét hàm số $f\left(x\right)=x^3-3x+6$ trên [0; 2] ta có $f\text{'}\left(x\right)=3x^2-3=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\in \left[0;2\right]\\ x=-1\notin \left[0;2\right]\end{array}\right..$

$f\left(0\right)=6,f\left(1\right)=4,f\left(2\right)=8.$

$\Rightarrow \underset{\left[0;2\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(1\right)=4,\underset{\left[0;2\right]}{\max }f\left(x\right)=f\left(2\right)=8.$

Vậy $\underset{\left[0;2\right]}{\max }\left|f\left(x\right)\right|=\max \left\{\left|\underset{\left[0;2\right]}{\min }f\left(x\right)\right|,\left|\underset{\left[0;2\right]}{\max }f\left(x\right)\right|\right\}=8.$

Chọn A.