Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA

Ta có

$\left\{\begin{array}{l}BC\perp AB\\ BC\perp SA\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp AH$

$\left\{\begin{array}{l}AH\perp SB\\ AH\perp BC\end{array}\right.\Rightarrow AH\perp \left(SBC\right)\Rightarrow AH\perp HK$

Chứng minh tương tự ta có $BL\perp LK.$

$\Rightarrow AHKI$ là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O là trung điểm của AK.

$\Rightarrow$ Đáy của hình nón (N) cũng chính là đường tròn tâm O bán kính $R=\frac{1}{2}AK.$

Ta có: $SA=a\sqrt{2};AC=a\sqrt{2}$ (do ABCD là hình vuông cạnh $a)\Rightarrow \Delta SAC$ vuông cân tại A.

$\Rightarrow SC=a\sqrt{2}.\sqrt{2}=2a$ và $AK=\frac{1}{2}SC=a$ (đường cao đồng thời là trung tuyến).

$\Rightarrow$ Bán kính đáy hình nón (N) là $R=\frac{1}{2}AK=\frac{1}{2}a.$

Ta có $\left\{\begin{array}{l}AH\perp \left(SBC\right)\\ AK\perp SC\end{array}\right.\Rightarrow AH\perp SC\Rightarrow SC\perp \left(AHKL\right).$

Trong (SAC) kẻ đường thẳng song song với SC cắt AC tại I ta có $\left\{\begin{array}{l}I\in \left(ABD\right)\\ OI//SC\Rightarrow OI\perp \left(AHKL\right)\end{array}\right..$

$\Rightarrow I$ là đỉnh của hình nón (N) và IO là đường cao của hình nón (N).

Dễ thấy OI là đường trung bình của tam giác AKC nên $OI=\frac{1}{2}KC=\frac{1}{4}SC=\frac{a}{2}=h.$

Vậy thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi .R^2.h=\frac{1}{3}\pi .{\left(\frac{a}{2}\right)}^2.\frac{a}{4}=\frac{\pi a^3}{48}.$

Chọn A.