Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, AD = a căn bậc hai của 3

Trong (ABCD) kẻ $AH\perp BD\left(H\in BD\right)$ ta có: $\left\{\begin{array}{l}BD\perp AH\\ BD\perp SA\end{array}\right.\Rightarrow BD\perp \left(SAH\right)\Rightarrow BD\perp SH.$

$\left\{\begin{array}{l}\left(SBD\right)\cap \left(ABCD\right)=BD\\ SH\subset \left(SBD\right),SH\perp BD\\ AH\subset \left(ABCD\right),AH\perp BD\end{array}\right.\Rightarrow \angle \left(\left(SBD\right);\left(ABCD\right)\right)=\angle \left(SH;AH\right)=\angle SHA={30}^0.$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABD có: $AH=\frac{AB.AD}{\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}}=\frac{a.a\sqrt{3}}{\sqrt{a^2+3a^2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

$\Rightarrow SA=AH.\tan {30}^0=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{a}{2}.$

Vậy $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}=\frac{1}{3}SA.AB.AD=\frac{1}{3}.\frac{a}{2}.a.a\sqrt{3}=\frac{a^3\sqrt{3}}{6}.$

Chọn D.