Cho I = tích phân tfw 1 đến 2 của x + lnx/(x + 1)^2dx với a, b, c là các số nguyên dương

* Hướng dẫn giải

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=x+\ln x\\ dv=\frac{dx}{{\left(x+1\right)}^2}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=\left(1+\frac{1}{x}\right)dx=\frac{x+1}{x}dx\\ v=-\frac{1}{x+1}\end{array}\right.$

Khi đó ta có

$I=-\left(x+\ln x\right)\frac{1}{x+1}\left|\begin{array}{l}2\\ 1\end{array}\right.+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{x+1}.\frac{x+1}{x}dx$

     $=-\left(2+\ln 2\right).\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{dx}{x}$

     $=-\left(2+\ln 2\right).\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\ln \left|x\right|\left|\begin{array}{l}2\\ 1\end{array}\right.$

     $=-\frac{2}{3}-\frac{1}{3}\ln 2+\frac{1}{2}+\ln 2$

     $=\frac{2}{3}\ln 2-\frac{1}{6}$

$\Rightarrow a=2,b=3,c=6$

Vậy $S=\frac{a+b}{c}=\frac{2+3}{6}=\frac{5}{6}.$

Chọn D.