Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên R. Hàm số y = f'(x) có bảng

* Hướng dẫn giải

Ta có:

$f\left(x\right)>e^{\cos x}+m$ có nghiệm $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$

$\iff f\left(x\right)-e^{\cos x}\ge m$ có nghiệm $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$

Đặt $g\left(x\right)=f\left(x\right)-e^{\cos x}\Rightarrow g\left(x\right)\ge m$ có nghiệm $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$

$\Rightarrow m\le \underset{\left(0;\frac{\pi }{2}\right)}{\min }g\left(x\right).$

Xét hàm số $g\left(x\right)=f\left(x\right)-e^{\cos x}$ với $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ ta có: $g\text{'}\left(x\right)=f\text{'}\left(x\right)+\sin x.e^{\cos x}.$

Với $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ ta có $\sin x\in \left(0;1\right)\Rightarrow \sin x\in \left(0;1\right)\Rightarrow \sin x.e^{\cos x}>0\forall x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$.

Do đó $g\text{'}\left(x\right)>0\forall x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$, do đó hàm số đồng biến trên $\left[0;\frac{\pi }{2}\right].$

$\Rightarrow \underset{\left[0;\frac{\pi }{2}\right]}{\min }g\left(x\right)=g\left(0\right)=f\left(0\right)-e.$

Vậy $m\le f\left(0\right)-e.$

Chọn D.