Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc (ABC), AC = AD = 2, AB = 1

Trong (ABC) kẻ $AH\perp BC\left(H\in BC\right),$ trong (ADH) kẻ $AK\perp DH\left(K\in DH\right),$ ta có:

$\left\{\begin{array}{l}BC\perp AH\\ BC\perp AD\left(AD\perp \left(ABC\right)\right)\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp \left(ADH\right)\Rightarrow BC\perp AK$

$\left\{\begin{array}{l}AK\perp DH\\ AK\perp BC\end{array}\right.\Rightarrow AK\perp \left(BCD\right)\Rightarrow d\left(A;\left(BCD\right)\right)=AH$

Xét tam giác ABC ta có $A{B}^2+A{C}^2=1^2+2^2=5=B{C}^2\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại A (định lí Pytago đảo).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có $AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{1.2}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}.$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ADH ta có $AK=\frac{AD.AH}{\sqrt{A{D}^2+A{H}^2}}=\frac{2.\frac{2}{\sqrt{5}}}{\sqrt{4+\frac{4}{5}}}=\frac{\sqrt{6}}{3}.$

Vậy $d=d\left(A;\left(BCD\right)\right)=\frac{\sqrt{6}}{3}.$

Chọn A.