Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Biết diện

Gọi M là trung điểm của BC. Vì $\Delta ABC$ đều nên $AM\perp BC$ và $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}BC\perp AM\\ BC\perp AA\text{'}\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp \left(AMA\text{'}\right)\Rightarrow BC\perp A\text{'}M.$

Khi đó ta có $S_{A\text{'}BC}=\frac{1}{2}A\text{'}M.BC\Rightarrow A\text{'}M=\frac{2S_{A\text{'}BC}}{BC}=\frac{2.\frac{a^2\sqrt{3}}{2}}{a}=a\sqrt{3}$.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông A'AM ta có $AA\text{'}=\sqrt{A\text{'}{M}^2-A{M}^2}=\sqrt{3a^2-\frac{3a^2}{4}}=\frac{3a}{2}.$

Vậy $V_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=AA\text{'}.S_{ABC}=\frac{3a}{2}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3a^3\sqrt{3}}{8}.$

Chọn C.