Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x^2(x + 1)^4(x - 3)^3(x^2 + mx)

* Hướng dẫn giải

Ta có:

$f\text{'}\left(x\right)=x^2{\left(x+1\right)}^4{\left(x-3\right)}^3\left(x^2+mx\right)$

$f\text{'}\left(x\right)=x^3{\left(x+1\right)}^4{\left(x-3\right)}^3\left(x+m\right)$

$f\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\left(nghiệmbội3\right)\\ x=-1\left(nghiệmbội4\right)\\ x=3\left(nghiệmbội3\right)\\ x=-m\left(nghiệmđơn\right)\end{array}\right.$

Đặt $y=g\left(x\right)=f\left(2x+1\right)$ ta có $g\text{'}\left(x\right)=2f\text{'}\left(2x+1\right).$

Cho $g\text{'}\left(x\right)=0\iff f\text{'}\left(2x+1\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}2x+1=0\\ 2x+1=3\\ 2x+1=m\end{array}\right.$ (ta không xét các nghiệm bội chẵn vì qua đó g'(x) không đổi dấu) $\iff \left[\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}\\ x=1\\ x=\frac{m-1}{2}\end{array}\right.$

Để hàm số g(x) có đúng 1 điểm cực trị thì phương trình g'(x) = 0 có duy nhất 1 nghiệm bội lẻ.

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}\frac{m-1}{2}=-\frac{1}{2}\\ \frac{m-1}{2}=1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m-1=-1\\ m-1=2\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m=0\\ m=3\end{array}\right..$

Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn điều kiện.

Chọn D.