Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị f'(x) như hình vẽ bên. Bất phương

* Hướng dẫn giải

Ta có

     ${\log }_5\left[f\left(x\right)+m+2\right]+f\left(x\right)>4-m$

$\iff {\log }_9\left[f\left(x\right)+m+2\right]+f\left(x\right)+m+2>6$

Đặt $t=f\left(x\right)+m+2,$ bất phương trình trở thành ${\log }_{5}t+t>6\left(t>0\right).$

Xét hàm số $g\left(t\right)={\log }_{5}t+t\left(t>0\right)$ ta có $g\text{'}\left(t\right)=\frac{1}{t\ln 5}+1>0\forall t>0,$ do đó hàm số đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$.

Lại có $g\left(5\right)={\log }_{5}5+5=6$ nên ta có $g\left(t\right)>g\left(5\right)\iff t>5.$

Khi đó ta có $f\left(x\right)+m+2>5\iff f\left(x\right)>3-m$ có nghiệm với mọi $x\in \left(-1;4\right)\iff 3-m\le \underset{\left[-1;4\right]}{\min }f\left(x\right).$

Dựa vào đồ thị hàm số y = f'(x) ta có BBT như sau:

Ta cần so sánh f(-1) và f(4)

Ta có:

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\text{'}\left(x\right)dx<-\underset{1}{\overset{4}{\int }}f\text{'}\left(x\right)dx$

$\Rightarrow f\left(1\right)-f\left(-1\right)<-f\left(4\right)+f\left(1\right)$

$\iff f\left(-1\right)>f\left(4\right)$

Do đó $\underset{\left[-1;4\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(4\right).$

Vậy $3-m\le f\left(4\right)\iff m\ge 3-f\left(4\right).$

Chọn B.