Cho số phức z = i - m/i - m(m - 2i), m thuộc R. Xác định giá trị nhỏ nhất của số thực

Ta có $z=\frac{i-m}{1-m\left(m-2i\right)}=\frac{m-i}{m^2-2mi-1}=\frac{m-i}{{\left(m-i\right)}^2}=\frac{1}{m-i}$

Khi đó ta có: $\left|z-1\right|=\left|\frac{1}{m-i}-1\right|=\left|\frac{1-m+i}{m-i}\right|=\frac{\left|m-1-i\right|}{\left|m-i\right|}\le k.$

$\iff \frac{{\left(m-1\right)}^2+1}{m^2+1}\le k^2\iff k^2\ge \frac{m^2-2m+2}{m^2+1}.$

Bải toán trở thành tìm $k_{\min }$ để bất phương trình $k\ge \frac{m^2-2m+2}{m^2+1}=g\left(m\right)$ có nghiệm.

Ta có

$g\text{'}\left(m\right)=\frac{\left(2m-2\right)\left(m^2+1\right)-\left(m^3-2m+2\right).2m}{{\left(m^2+1\right)}^2}$

$g\text{'}\left(m\right)=\frac{2m^3+2m-2m^2-2-2m^3+4m^2-4m}{{\left(m^2+1\right)}^2}$

$g\text{'}\left(m\right)=\frac{2m^3-2m-2}{{\left(m^2+1\right)}^2}$

$g\text{'}\left(m\right)=0\iff m=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

BBT:

Dựa vào BBT $\Rightarrow \min g\left(x\right)=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\iff k^2\ge \frac{3-\sqrt{5}}{2}=\frac{6-2\sqrt{5}}{4}=\frac{{\left(\sqrt{5}-1\right)}^2}{2}\Rightarrow k>\frac{\sqrt{5}-1}{2}.$

Vậy $k=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.$

Chọn B.