Cho hình chóp S.ABC có SA = 4, AB = 2, AC = 1 và SA vuông góc (ABC). Gọi O là tâm

Kẻ đường kính AM của (O)

Ta có $\left\{\begin{array}{l}BM\perp AB\\ BM\perp SA\end{array}\right.\Rightarrow BM\perp \left(SAB\right)\Rightarrow BM\perp AD.$

Lại có $AD\perp DM$ (góc nội tiếp chắn nửa mặt cầu) $\Rightarrow AD\perp \left(SBM\right)\Rightarrow AD\perp SB.$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có $\frac{SD}{SB}=\frac{S{A}^2}{S{B}^2}=\frac{S{A}^2}{S{A}^2+A{B}^2}=\frac{4^2}{4^2+2^2}=\frac{4}{5}.$

Ta có $AD\perp \left(SBC\right)\Rightarrow AD\perp DE\Rightarrow \Delta ADE$ vuông tại D

Chứng minh tương tự ta có $AE\perp \left(SCM\right)\Rightarrow AE\perp SC.$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có $\frac{SE}{SC}=\frac{S{A}^2}{S{C}^2}=\frac{S{A}^2}{S{A}^2+A{C}^2}=\frac{4^2}{4^2+1^2}=\frac{16}{17}.$

Khi đó ta có $\frac{V_{S.ADE}}{V_{S.ABC}}=\frac{SD}{SB}.\frac{SE}{SC}=\frac{4}{5}.\frac{16}{17}=\frac{64}{85}\Rightarrow V_{S.ADE}=\frac{64}{85}{V}_{S.ABC}.$

Do đó $V_{S.ADE}$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi $V_{S.ABC}$ đạt giá trị lớn nhất.

Ta có $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SA.S_{ABC}=\frac{1}{6}SA.AB.SC.\sin \angle BAC=\frac{1}{6}\mathrm{.4.2.1.}\sin \angle BAC=\frac{4}{3}\sin \angle BAC$ đạt giá trị lớn nhất khi $\sin \angle BAC=1\iff \angle BAC={90}^0.$

Khi đó $\max V_{S.ABC}=\frac{4}{3}\Rightarrow \max V_{S.ADE}=\frac{256}{255}.$

Chọn D.