Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}BC\perp AB\\ BC\perp SA\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right)\Rightarrow SB$ là hình chiếu vuông góc của SC lên (SAB)

$\Rightarrow \angle \left(SC;\left(SAB\right)\right)=\angle \left(SC;SB\right)=\angle BSC={30}^0.$

Xét tam giác vuông SBC có $SB=BC.\cot {30}^0=2a\sqrt{3}.$

Xét tam giác vuông $SAB:SA=\sqrt{S{B}^2-A{B}^2}=\sqrt{12a^2-4a^2}=2\sqrt{2}a.$

Vậy $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.2\sqrt{2}a.{\left(2a\right)}^2=\frac{8\sqrt{2}{a}^3}{3}.$

Chọn B.