Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log căn bậc hai của x - 2/100y = (y - căn bậc hai của x - 2)

* Hướng dẫn giải

ĐKXĐ: $\left\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{x-2}}{100y}>0\\ x-2\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>2\\ y>0\end{array}\right..$

Ta có:

     $\log \frac{\sqrt{x-2}}{100y}=\left(y-\sqrt{x-2}\right)\left(y+\sqrt{x-2}+1\right)-2$

$\iff \log \sqrt{x-2}-\log y-2=y^2-\left(x-2\right)+y-\sqrt{x-2}-2$

$\iff \left(x+2\right)+\sqrt{x-2}+\log \sqrt{x-2}=y^2+y+\log y$

Xét hàm đặc trưng $f\left(t\right)=t^2+t+\log t\left(t>0\right)$ ta có $f\text{'}\left(t\right)=2t+1+\frac{1}{t\ln 10}>0\forall t>0$, do đó hàm số đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$.

Do đó $f\left(\sqrt{x-2}\right)=f\left(y\right)\iff \sqrt{x-2}=y\iff x-2=y^2\iff x=y^2+2>2.$

Khi đó ta có: $P=\frac{\ln \left(y^2+2\right)}{\sqrt[2021]{x}}=\frac{\ln x}{\sqrt[2021]{x}}$

Xét hàm số $P\left(x\right)=\frac{\ln x}{\sqrt[2021]{x}}$ với x > 2 ta có: $P\text{'}\left(x\right)=\frac{\frac{\sqrt[2021]{x}}{x}-\frac{1}{2021}.x^{\frac{-2020}{2021}}\ln x}{{\left(\sqrt[2021]{x}\right)}^2}$

$P\text{'}\left(x\right)=0\iff \frac{\sqrt[2021]{x}}{x}-\frac{1}{2021}.\frac{1}{x^{\frac{2020}{2021}}}\ln x=0\iff 2021x-x\ln x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\left(ktm\right)\\ x=e^{2021}\left(tm\right)\end{array}\right.$

BBT:

Vậy $P_{\max }\in \left(700;800\right).$

Chọn C.