Có một cốc thủy tính hình trụ, bán kính trong lòng cốc là 4cm, chiều cao trong lòng

Câu hỏi :

Có một cốc thủy tính hình trụ, bán kính trong lòng cốc là 4cm, chiều cao trong lòng cốc là 10cm đang đựng một lượng nước. Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiệm cốc nước vừa lúc chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy.

* Đáp án

A

* Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Thiết diện của mặt phẳng vuông với trục Ox tại x. Suy ra diện tích này là tam giác ABC vuông tại B. 

Ta có

$AB=BC.\tan \alpha =\sqrt{R^2-x^2}.\frac{h}{R}=\sqrt{4-x^2}.\frac{10}{4}$

$\Rightarrow S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.BC=\frac{1}{2}\left(4-x^2\right).\frac{10}{4}=\frac{5}{4}\left(16-x^2\right)$

$\Rightarrow V=\frac{5}{3}\underset{-4}{\overset{4}{\int }}\left(16-x^2\right)dx=\frac{320}{3}\left(c{m}^3\right)$

Chọn A.