Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x^2 -xy + 3 = 0 và 2x + 3y - 14 nhỏ hơn hoặc bằng 0

* Hướng dẫn giải

Với x, y là các số thực dương ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}^2-xy+3=0\\ 2x+3y-14\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=\frac{x^2+3}{x}\\ 2x+\frac{3x^2+9}{x}-14\le 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}y=\frac{x^2+3}{x}\\ 2x^2+3x^2+9-14x\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=\frac{x^2+3}{x}\\ 1\le x\le \frac{9}{5}\end{array}\right.$

Khi đó ta có

$P=3x^{2}y-x{y}^2-2x^3+2x$

$P=\left(x^2-xy+3\right)y+2x^{2}y-2x^3+2x-3y$

$P=2x^{2}y-2x^3+2x-3y$

$P=2x^2.\frac{x^2+3}{x}-2x^3+2x-3.\frac{x^2+3}{x}$

$P=2x^3+6x-2x^3+2x-3x-\frac{9}{x}$

$P=5x-\frac{9}{x}$

Xét hàm số $P=5x-\frac{9}{x}$ với $1\le x\le \frac{9}{5}$. Ta có: $P\text{'}=5+\frac{9}{x^2}>0\forall x$ nên hàm số đồng biến $\left(1;\frac{9}{5}\right).$

Vậy $\left\{\begin{array}{l}\underset{\left[1;\frac{9}{5}\right]}{\min }P=P\left(1\right)=-4\\ \underset{\left[1;\frac{9}{5}\right]}{\max }P=P\left(\frac{9}{5}\right)=4\end{array}\right.\Rightarrow \underset{\left[1;\frac{9}{5}\right]}{\min }P+\underset{\left[1;\frac{9}{5}\right]}{\max }P=0\in \left(-2;2\right).$

Chọn A.