Cho hàm số có bảng biến thiên như sau: Số điểm cực đại của hàm số

* Hướng dẫn giải

Ta có $g\left(x\right)={\left[f\left(2x^2+x\right)\right]}^2$

$\Rightarrow g\text{'}\left(x\right)=2\left(4x+1\right).f\text{'}\left(2x^2+x\right)f\left(2x^2+x\right)$

$g\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}4x+1=0\iff x=-\frac{1}{4}\\ f\text{'}\left(2x^2+x\right)=0\left(1\right)\\ f\left(2x^2+x\right)=0\left(2\right)\end{array}\right.$

Dựa vào BBT ta thấy:

$f\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-2\\ x=1\end{array}\right.,$ do đó $\left(1\right)\iff \left[\begin{array}{l}2x^2+x=-2\left(vonghiem\right)\\ 2x^2+x=1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ x=-1\end{array}\right..$

f(x) = 0 có 1 nghiệm x = a > 1 do đó $\left(2\right)\iff 2x^2+x=a\left(a>1\right).$

Xét hàm số $f\left(x\right)=2x^2+x$ ta có $f\text{'}\left(x\right)=4x+1=0\iff x=-\frac{1}{4}.$

Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình f(x) = a có 2 nghiệm phân biệt x = b, x = c và $b<-1,c>\frac{1}{2}.$

Khi đó ta có bảng xét dấu y = g'(x) như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y = g(x) có 3 điểm cực đại.

Chọn A.