Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

* Hướng dẫn giải

Ta có $y=\left(m^2-m-6\right)x^3+\left(m-3\right)x^2-2x+1$ nghịch biến trên $\mathrm{ℝ}$

$\Rightarrow y\text{'}=3\left(m^2-m-6\right)x^2+2\left(m-3\right)x-2\le 0\forall x\in ℝ$

TH1: $m^2-m-6=0\iff \left[\begin{array}{l}m=3\\ m=-2\end{array}\right..$

+ Với m = 3 thì y = -2x + 1 nghịch biến trên $\mathrm{ℝ}$ (đúng) $\Rightarrow m=3$ thỏa mãn.

+ Với m = -2 thì $y=-5x^2-2x+1$ nghịch biến trên $\mathrm{ℝ}$ (sai) $\Rightarrow m=-2$ không thỏa mãn.

TH2: $m^2-m-6\ne 0\iff \left\{\begin{array}{l}m=3\\ m=-2\end{array}\right.$

Đề hàm số nghịch biến trên $\mathrm{ℝ}$ thì $y\text{'}\le 0\forall x\in ℝ.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}3\left(m^2-m-6\right)<0\\ \Delta \text{'}={\left(m-3\right)}^2+6\left(m^2-m-6\right)\le 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}-2<m<3\\ 7m^2-12m-27\le 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}-2<m<3\\ -\frac{9}{7}\le m\le 3\end{array}\right.\iff -\frac{9}{7}\le m<3.$

Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{-1;0;1;2\right\}.$

Kết hợp cả 2 TH ta có $m\in \left\{-1;0;1;2;3\right\}.$ Vậy có 5 giá trị m thỏa mãn.

Chọn B.