Cho F(x) = x^3/3 là một nguyên hàm của f(x)/x. Biết f(x) có đạo hàm xác định với

Ta có $F\left(x\right)=\frac{x^3}{3}$ là một nguyên hàm của $\frac{f\left(x\right)}{x}\Rightarrow \frac{f\left(x\right)}{x}=F\text{'}\left(x\right)=x^2\Rightarrow f\left(x\right)=x^3.$

$\Rightarrow f\text{'}\left(x\right).e^x=3x^2.e^2\Rightarrow \underset{}{\overset{}{\int }}f\text{'}\left(x\right).e^{x}dx=\underset{}{\overset{}{\int }}3x^2.e^{x}dx.$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=3x^2\\ dv=e^{x}dx\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=6xdx\\ v=e^x\end{array}\right.\Rightarrow \underset{}{\overset{}{\int }}f\text{'}\left(x\right).e^{x}dx=3x^2{e}^x-\underset{}{\overset{}{\int }}6x.e^{x}dx.$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=6x\\ dv=e^{x}dx\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=6dx\\ v=e^x\end{array}\right.\Rightarrow \underset{}{\overset{}{\int }}6x.e^{x}dx=6x{e}^x-\underset{}{\overset{}{\int }}6e^{x}dx=6x{e}^x-6e^x+C$

Vậy $\underset{}{\overset{}{\int }}f\text{'}\left(x\right).e^{x}dx=3x^2.e^x-6x{e}^x+6e^x+C.$

Chọn D.