Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) nguyên thỏa mãn

Ta có $\left(4xy+7y\right)\left(2x-1\right)\left(e^{2xy}-e^{4x+y+7}\right)=\left[2x\left(2-y\right)+y+7\right]e^y$

$\iff \frac{e^{2xy}-e^{4x+y+7}}{e^y}=\frac{2x\left(2-y\right)+y+7}{\left(4xy+7y\right)\left(2x-1\right)}=\frac{4x-2xy+y+7}{\left(4xy+7y\right)\left(2x-1\right)}$

$\iff e^{2xy-y}-e^{4x+7}=\frac{4x+7}{y\left(4x+7\right)\left(2x-1\right)}+\frac{y\left(1-2x\right)}{y\left(4x+7\right)\left(2x-1\right)}$

$\iff e^{2xy-y}-e^{4x+7}=\frac{1}{y\left(2x-1\right)}+\frac{1}{4x+7}$

$\iff e^{y\left(2x-1\right)}-\frac{1}{y\left(2x-1\right)}=e^{4x+7}-\frac{1}{4x+7}$

Xét hàm số $f\left(t\right)=e^t-\frac{1}{t}\left(t\ne 0\right)$ ta có $f\text{'}\left(t\right)=e^t+\frac{1}{t^2}>0\forall t\ne 0,$ do đó hàm số đồng biến trên các khoảng xác định, từ đó ta có: $f\left(y\left(2x-1\right)\right)=f\left(4x+7\right)\iff y\left(2x-1\right)=4x+7.$

$\Rightarrow y=\frac{4x+7}{2x-1}=\frac{4x-2+9}{2x-1}=2+\frac{9}{2x+1}.$

Vì y nguyên nên $\frac{9}{2x+1}\in \mathbb{Z}\Rightarrow 2x+1\in \left\{\pm 1;\pm 3;\pm 9\right\}\Rightarrow x\in \left\{0;-1;1;-2;4;-5\right\}\Rightarrow$ Có 6 giá trị của x thỏa mãn.

Vậy có 6 cặp thỏa mãn số (x; y) nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.