Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a căn bậc hai của 3

Vì tam giác SAB cân nên $SH\perp AB$.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\left(SAB\right)\perp \left(ABCD\right)=AB\\ SH\subset \left(SAB\right),SH\perp AB\end{array}\right.\Rightarrow SH\perp \left(ABCD\right).$

Vì HK là đường trung bình của tam giác SBD nên $HK//BD\Rightarrow HK//\left(SBD\right)\supset SD.$

$\Rightarrow d\left(SD;HK\right)=d\left(HK;\left(SBD\right)\right)=d\left(H;\left(SBD\right)\right).$

Gọi O, M lần lượt là trung điểm của BD, SO

Ta có $SC\perp BD$ (do ABCD là hình vuông), HM // AC (do HM là đường trung bình của $\Delta ABO$)

$\Rightarrow HM\perp BD$.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}BD\perp HM\\ BD\perp SH\end{array}\right.\Rightarrow BD\perp \left(SHM\right).$

Trong (SHM) kẻ $HI\perp SM$ ta có $\left\{\begin{array}{l}HI\perp SM\\ HI\perp BD\end{array}\right.\Rightarrow HI\perp \left(SBD\right)\Rightarrow d\left(H;\left(SBD\right)\right)=HI.$

Vì ABCD là hình vuông cạnh $a\Rightarrow AC=a\sqrt{2}\Rightarrow AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow HM=\frac{1}{2}AO=\frac{a\sqrt{2}}{4}.$

Ta có: $HD=\sqrt{A{H}^2+H{D}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+a^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}.$

Xét tam giác vuông SHD có: $SH=\sqrt{S{D}^2-H{D}^2}=\sqrt{3a^2-\frac{5a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{7}}{2}.$

Xét tam giác vuông SHM có: $HI=\frac{SH.HM}{\sqrt{S{H}^2+H{M}^2}}=\frac{\frac{a\sqrt{7}}{2}.\frac{a\sqrt{2}}{4}}{\sqrt{\frac{7a^2}{4}+\frac{a^2}{8}}}=\frac{a\sqrt{105}}{30}.$

Vậy $d\left(HK;SD\right)=\frac{a\sqrt{105}}{30}.$

Chọn C.