Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R là f'(x) = (x - 1)(x + 3). Có bao nhiêu giá trị nguyên

Đặt $y=g\left(x\right)=f\left(x^2+3x-m\right)$ ta có $g\text{'}\left(x\right)=\left(2x+3\right)f\text{'}\left(x^2+3x-m\right).$

Để hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2) thì $g\text{'}\left(x\right)\ge 0\forall x\in \left(0;2\right)$ và bằng 0 tại hữu hạn điểm

$\Rightarrow \left(2x+3\right)f\text{'}\left(x^2+3x-m\right)\ge 0\forall x\in \left(0;2\right).$

$\iff f\text{'}\left(x^2+3x-m\right)\ge 0\forall x\in \left(0;2\right)$ (do $2x+3>0\forall x\in \left(0;2\right)$) (*)

Ta có: $f\text{'}\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x+3\right)\ge 0\iff \left[\begin{array}{l}x\ge 1\\ x\le -3\end{array}\right.$

Do đó $\left(*\right)\iff \left[\begin{array}{l}{x}^2+3x-m\ge 1\forall x\in \left(0;2\right)\\ x^2+3x-m\le -3\forall x\in \left(0;2\right)\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}{x}^2+3x\ge m+1\forall x\in \left(0;2\right)\\ x^2+3x\le m-3\forall x\in \left(0;2\right)\end{array}\right.\left(**\right).$

Đặt $h\left(x\right)=x^2+3x,$ khi đó $\left(**\right)\iff \left[\begin{array}{l}h\left(x\right)\ge m+1\forall x\in \left(0;2\right)\\ h\left(x\right)\le m-3\forall x\in \left(0;2\right)\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\underset{\left[0;2\right]}{\min }h\left(x\right)\ge m+1\\ \underset{\left[0;2\right]}{\max }h\left(x\right)\le m-3\end{array}\right..$

Xét hàm số $h\left(x\right)=x^2+3x$ trên [0; 2] ta có $h\text{'}\left(x\right)=2x+3=0\iff x=-\frac{3}{2}\notin \left[0;2\right].$

Có $h\left(0\right)=0,h\left(2\right)=10$ nên $\left[\begin{array}{l}\underset{\left[0;2\right]}{\min }h\left(x\right)=0\ge m+1\\ \underset{\left[0;2\right]}{\max }h\left(x\right)=10\le m-3\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m\le -1\\ m\ge 13\end{array}\right..$

Kết hợp điều kiện đề bài ta có $\left\{\begin{array}{l}m\in \left[-10;2021\right]\\ m\in \mathbb{Z}\end{array}\right..$ Vậy có 2019 giá trị của m thỏa mãn.

Chọn B.