Cho đa thức f(x) với hệ số thực và thỏa mãn 2f(x) + f(1 - x) = x^2, mọi x thuộc R

Ta có $2f\left(x\right)+f\left(1-x\right)=x^2,\forall x\in ℝ$

$\Rightarrow 2f\left(1-x\right)+f\left(x\right)={\left(1-x\right)}^2,\forall x\in ℝ$

$\iff f\left(x\right)+2f\left(1-x\right)=x^2-2x+1,\forall x\in ℝ$

Ta có hệ:

$\left\{\begin{array}{l}2f\left(x\right)+f\left(1-x\right)=x^2\\ f\left(x\right)+2f\left(1-x\right)=x^2-2x+1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}4f\left(x\right)+2f\left(1-x\right)=2x^2\\ f\left(x\right)+2f\left(1-x\right)=x^2-2x+1\end{array}\right.$

$\Rightarrow 3f\left(x\right)=x^2+2x-1\iff f\left(x\right)=\frac{1}{3}\left(x^2+2x-1\right)\Rightarrow f\left(1\right)=\frac{2}{3}$

$\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{3}\left(2x+2\right)\Rightarrow f\text{'}\left(1\right)=\frac{4}{3}$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ x = 1 là:

                                   $y=\frac{4}{3}\left(x-1\right)+\frac{2}{3}\iff y=\frac{4}{3}x-\frac{2}{3}\left(d\right)$

Gọi $A=d\cap Ox.$ Cho $y=0\Rightarrow \frac{4}{3}x-\frac{2}{3}=0\iff x=\frac{1}{2}\Rightarrow A\left(\frac{1}{2};0\right)$ và $OA=\frac{1}{2}.$

Gọi $B=d\cap Oy.$ Cho $x=0\Rightarrow y=\frac{4}{3}.0-\frac{2}{3}=-\frac{2}{3}\Rightarrow B\left(0;-\frac{2}{3}\right)$ và $OB=\frac{2}{3}.$

Vậy $S_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{2}{3}=\frac{1}{6}.$

Chọn A.