Cho mặt cầu S(O; 4) cố định. Hình nón (N) gọi là nội tiếp mặt cầu nếu hình nón (N)

Gọi r, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình nón (N). Dễ thấy $V_{\left(N\right)}$ lớn nhất thì $4<h\le 8.$ 

Áp dụng định lí Pytago ta có: $r=\sqrt{4^2-{\left(h-4\right)}^2}=\sqrt{8h-h^2}.$

$\Rightarrow V_{\left(N\right)}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \left(8h-h^2\right)h=\frac{\pi }{3}\left(8h^2-h^3\right).$

Xét hàm số $f\left(h\right)=8h^2-h^3$ với $h\in \left(4;8\right]$ ta có: $f\text{'}\left(h\right)=16h-3h^2=0\iff \left[\begin{array}{l}h=0\\ h=\frac{16}{3}\end{array}\right..$

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy $\underset{\left(4;8\right]}{\max }f\left(h\right)=f\left(\frac{16}{3}\right).$

Vậy $V_{\left(N\right)}$ đặt GTLN khi $h=\frac{16}{3}\Rightarrow r=\frac{8\sqrt{2}}{3}.$

Chọn D.