Cho tam giác OAB đều cạnh 2a. Trên đường thẳng d qua O và vuông góc với

Ta có $V_{ABMN}=V_{M.OAB}+V_{N.AOB}=\frac{1}{3}OM.S_{\Delta OAB}+\frac{1}{3}ON.S_{\Delta OAB}=\frac{1}{3}MN.S_{\Delta OAB}.$

Tam giác OAB đều cạnh 2a nên $S_{\Delta OAB}=\frac{{\left(2a\right)}^2\sqrt{3}}{4}=a^2\sqrt{3}$ không đổi.

Do đó $V_{ABMN}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi MN đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có: $\Delta OAB$ đều $\Rightarrow M$ là trung điểm của OB.

$\left\{\begin{array}{l}AF\perp OB\\ AF\perp OM\end{array}\right.\Rightarrow AF\perp \left(OBM\right)\Rightarrow AF\perp BM$

$\left\{\begin{array}{l}BM\perp AF\\ BM\perp AE\end{array}\right.\Rightarrow BM\perp \left(AEF\right)\Rightarrow BM\perp EF$

Ta có $\angle BEF=\angle OMB=\angle OFN\Rightarrow \Delta OBM\backsim \Delta ONF\left(g.g\right).$

$\Rightarrow \frac{ON}{OB}=\frac{OF}{OM}\Rightarrow ON=\frac{OB.OF}{OM}=\frac{2a.a}{x}=\frac{2a^2}{x}.$

$\Rightarrow MN=OM+ON=x+\frac{2a^2}{x}\ge 2\sqrt{x\frac{2a^2}{x}}=2\sqrt{2}a.$ Dấu "=" xảy ra $\iff x=\frac{2a^2}{x}\iff x=a\sqrt{2}.$

Vậy $V_{ABMN}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $x=a\sqrt{2}.$

Chọn D.