Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh bằng 1 và

Ta có:

$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC\text{'}}+\overrightarrow{C\text{'}D\text{'}}+\overrightarrow{D\text{'}N}$

$=2\overrightarrow{BC\text{'}}+\overrightarrow{C\text{'}D\text{'}}+\overrightarrow{DD\text{'}}$

$=2\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC\text{'}}\right)+\overrightarrow{C\text{'}D\text{'}}+\overrightarrow{CC\text{'}}$

$=2\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{CC\text{'}}+\overrightarrow{C\text{'}D\text{'}}+\overrightarrow{CC\text{'}}$

$=2\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{AA\text{'}}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA\text{'}}$

$=2\overrightarrow{AD}+3\overrightarrow{AA\text{'}}-\overrightarrow{AB}$

$\Rightarrow M{N}^2={\left(2\overrightarrow{AD}+3\overrightarrow{AA\text{'}}-\overrightarrow{AB}\right)}^2$

$=4A{D}^2+9AA{\text{'}}^2+A{B}^2+12\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AA\text{'}}-4\overrightarrow{AD.}\overrightarrow{AB}-6\overrightarrow{AA\text{'}}.\overrightarrow{AB}$

$=12+12\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AA\text{'}}-4\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}-6\overrightarrow{AA\text{'}}.\overrightarrow{AB}$

Ta có:

$\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AA\text{'}}=AD.AA\text{'}.\cos \angle DAA\text{'}=\mathrm{1.1.}\cos {60}^0=\frac{1}{2}$

$\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}=AD.AB.\cos \angle BAD=\mathrm{1.1.}\cos {60}^0=\frac{1}{2}$

$\overrightarrow{AA\text{'}}.\overrightarrow{AB}=AA\text{'}.AB.\cos \angle A\text{'}AB=\mathrm{1.1.}\cos {60}^0=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow M{N}^2=14+12.\frac{1}{2}-4.\frac{1}{2}-6.\frac{1}{2}=15.$

Vậy $MN=\sqrt{15}.$

Chọn D.