Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có tích phân từ 0 đến 3 của f(x)dx = -1

* Hướng dẫn giải

Ta có: $I=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}f\left(\left|2x-1\right|\right)dx=\underset{-2}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}f\left(1-2x\right)dx+\underset{\frac{1}{2}}{\overset{3}{\int }}f\left(2x-1\right)dx=I_1+I_2.$

Xét $I_1=\underset{-2}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}f\left(1-2x\right)dx.$

Đặt $t=1-2x\Rightarrow dt=-2dx.$ Đổi cận: $\left\{\begin{array}{l}x=-2\Rightarrow t=5\\ x=\frac{1}{2}\Rightarrow t=0\end{array}\right..$ Ta có:

$I_1=-\frac{1}{2}\underset{5}{\overset{0}{\int }}f\left(t\right)dt=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{5}{2}.$

Xét $I_2=\underset{\frac{1}{2}}{\overset{3}{\int }}f\left(2x-1\right)dx.$

Đặt $u=2x-1\Rightarrow du=2dx.$ Đổi cận: $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\Rightarrow u=0\\ x=2\Rightarrow u=3\end{array}\right..$ Ta có:

$I_2=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(u\right)du=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=-\frac{1}{2}.$

Vậy $I=\frac{5}{2}-\frac{1}{2}=2.$

Chọn D.