Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình

* Hướng dẫn giải

Ta có:

     $3^{x^2-3\left|x-m\right|}={\log }_{x^2+3}\left(3\left|x-m\right|+3\right)$

$\iff 3^{x^2+3-3\left|x-m\right|-3}={\log }_{x^2+3}\left(3\left|x-m\right|+3\right)$

$\iff \frac{3^{x^2+3}}{3^{3\left|x-m\right|+3}}=\frac{\ln \left(3\left|x-m\right|+3\right)}{\ln \left(x^2+3\right)}$

$\iff 3^{x^2+3}.\ln \left(x^2+3\right)=3^{3\left|x-m\right|+3}.\ln \left(3\left|x-m\right|+3\right)$

Xét hàm số $f\left(t\right)=3^t\ln t\left(t\ge 3\right)$ ta có $f\text{'}\left(t\right)=3^t\ln t.\ln 3+3^t.\frac{1}{t}>0\forall t\ge 3$

Do đó hàm số đồng biến trên $\left[3;+\infty \right)$.

Lại có $f\left(x^2+3\right)=f\left(3\left|x-m\right|+3\right)$ nên $x^2+3=3\left|x-m\right|+3\iff x^2=3\left|x-m\right|.$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}{x}^2=3\left(x-m\right)\\ -x^2=3\left(x-m\right)\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}{x}^2-3x+3m=0\\ x^2+3x-3m=0\end{array}\right.$

Để phương trình có nghiệm thì $\left\{\begin{array}{l}9-12m\ge 0\\ 9+12m\ge 0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m\le \frac{3}{4}\\ m\ge -\frac{3}{4}\end{array}\right.\iff m\in ℝ.$

Chọn A.