Cho mặt cầu (S): x^2 + y^2 + (z - 4)^2 = 20. Từ điểm A(0; 0; -1) kẻ các tiếp tuyến

* Hướng dẫn giải

Mặt cầu tâm I(0; 0; 4) và bán kính $R=2\sqrt{5}$.

Ta có $\overrightarrow{IA}=\left(0;0;-5\right)\Rightarrow IA=5.$ Gọi H là tâm đường tròn (C) và K là tiếp điểm của một tiếp tuyến kẻ từ A ta có 

$AK=\sqrt{A{I}^2-I{K}^2}=\sqrt{5^2-{\left(2\sqrt{5}\right)}^2}=\sqrt{5}.$

Do đó bán kính đường tròn (C) là: $r_C=HK=\frac{AK.IK}{AI}=\frac{\sqrt{5}.2\sqrt{5}}{5}=2.$

Vì bán kính đường tròn (C') gấp đôi bán kính đường tròn (C) nên ta có $r_C=4\Rightarrow IM=10.$

Tam giác IHK vuông tại H nên $IH=\sqrt{I{K}^2-H{K}^2}=\sqrt{20-2^2}=4.$

$\Rightarrow HM=\sqrt{I{M}^2-I{H}^2}=\sqrt{{10}^2-4^2}=2\sqrt{21}.$

Do H là tâm đường tròn (C) cố định, M di động nằm trên mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ do đó M thuộc đường tròn tâm H bán kính $HM=2\sqrt{21}.$

Chọn A.