Cho hàm số f(x) có đạo hàm cấp 2 liên tục trên R thỏa mãn số nguyên x thỏa

Ta có $f\left(1-x\right)+x^{2}f"\left(x\right)=2x,\forall x\in ℝ\Rightarrow f\left(1\right)=0.$ Ta có

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(f\left(1-x\right)+x^{2}f"\left(x\right)\right)dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}2xdx=1\Rightarrow 1=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(f\left(x\right)+x^{2}f"\left(x\right)\right)dx$ (Do $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(1-x\right)dx$).

Ta có:

$I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{2}f"\left(x\right)dx=xf\left(x\right)\left|\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right.-I+x^{2}f\text{'}\left(x\right)\left|\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right.-2I=2021-3I\Rightarrow I=\frac{2020}{3}.$

Chọn D.