Cho hàm số f(x) = x^2 - 5x + 3 khi x lớn hơn hoặc bằng 7 và = 2x + 3 khi x < 7

Xét tích phân $I=\underset{0}{\overset{\ln 4}{\int }}f\left(2e^x+3\right)e^{x}dx.$

Đặt $t=2e^x+3\Rightarrow dt=2e^{x}dx$ hay $e^{x}dx=\frac{1}{2}dt.$

Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=5;x=\ln 4\Rightarrow t=11.$

Khi đó:

$I=\frac{1}{2}\underset{5}{\overset{11}{\int }}f\left(t\right)dt=\frac{1}{2}\underset{5}{\overset{11}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{1}{2}\left(\underset{5}{\overset{7}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{7}{\overset{11}{\int }}f\left(x\right)dx\right)=\frac{1}{2}\left[\underset{5}{\overset{7}{\int }}\left(2x+3\right)dx+\underset{7}{\overset{11}{\int }}\left(x^2-5x+3\right)dx\right]$

$=\frac{1}{2}\left[\left(x^2+3x\right)\left|\begin{array}{l}7\\ 5\end{array}\right.+\left(\frac{x^3}{3}-\frac{5x^2}{2}+3x\right)\left|\begin{array}{l}11\\ 7\end{array}\right.\right]=\frac{1}{2}\left(30+\frac{484}{3}\right)=\frac{287}{3}.$

Vậy $\underset{0}{\overset{\ln 4}{\int }}f\left(2e^x+3\right)e^{x}dx=\frac{287}{3}.$

Chọn D.