Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc (ABC); AB = 6; BC = 7; CA = 8

Kẻ $AI\perp BC\left(I\in BC\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}AI\perp BC\\ SA\perp BC\\ AI\cap SA=\left\{A\right\}\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp \left(SAI\right)\Rightarrow \left(SBC\right)\perp \left(SAI\right).$

Và $\left(SBC\right)\cap \left(SAI\right)=SI.$

Suy ra SI là hình chiếu vuông góc của SA trên (SBC)

Suy ra $\widehat{\left(SA,\left(SBC\right)\right)}=\widehat{\left(SA,SI\right)}=\widehat{ASI}={60}^0.$

Tính được: $S_{ABC}=\sqrt{p\left(p-AB\right)\left(p-AC\right)\left(p-BC\right)}=\frac{21\sqrt{15}}{4}.$

Mặt khác $S_{ABC}=\frac{1}{2}AI.BC\Rightarrow AI=\frac{2S_{ABC}}{BC}=\frac{2.\frac{21\sqrt{15}}{4}}{7}=\frac{3\sqrt{15}}{2}.$

Tam giác SAI vuông tại A ta có:

$SA=\frac{AI}{\tan {60}^0}=\frac{3\sqrt{15}}{2\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{5}}{2}.$

Khi đó: $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.S_{ABC}.SA=\frac{1}{3}.\frac{21\sqrt{15}}{4}.\frac{3\sqrt{5}}{2}=\frac{105\sqrt{3}}{8}.$

Chọn B.