Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (x, y) thỏa mãn

* Hướng dẫn giải

Ta có: $25y^4+10y^3-x^2{y}^2-2y^{2}x$

$=25y^4+10y^3+y^2-x^2{y}^2-2y^{2}x-y^2$

$=\left(25y^4+10y^3+y^2\right)-\left(x^2{y}^2+2y^{2}x+y^2\right)$

$=y^2\left(25y^2+10y+1\right)-y^2\left(x^2+2x+1\right)$

$=y^2\left[{\left(5y+1\right)}^2-{\left(x+1\right)}^2\right]$

Do đó: $\ln \frac{x+1}{5y+1}\le 25y^2+10y^3-x^2{y}^2-2y^{2}x$

$\Rightarrow \ln \left(x+1\right)-\ln \left(5y+1\right)\le y^2\left[{\left(5y+1\right)}^2-{\left(x+1\right)}^2\right]$

+) TH1: $x+1>5y+1$ thì vế phải âm (không thỏa mãn).

+) TH2: $x+1\le 5y+1$ thì vế trái không dương, vế phải không âm nên sẽ luôn thỏa mãn khi

$\left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x+1>0\\ 5y+1>0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x+1<0\\ 5y+1<0\end{array}\right.\end{array}\right.\\ x+1\le 5y+1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x>-1\\ y>-\frac{1}{5}\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x<-1\\ y<-\frac{1}{5}\end{array}\right.\end{array}\right.\\ x\le 5y\end{array}\right..$ Do x, y là số nguyên dương nên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x>-1\\ y>-\frac{1}{5}\end{array}\right.\\ x\le 5y\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 1\\ y\ge 1\\ x\le 5y\end{array}\right.\left(y\le 2022;x,y\in \mathbb{Z}\right).$

Vậy $y\in \left[1;2022\right],x\in \left[1;10110\right].$

Ứng với mỗi y nguyên dương có 5y cặp (x, y) Do đó số cặp:

$5\left(1+2+3+\mathrm{...}+2022\right)=\frac{\mathrm{5.2022.2023}}{2}=10226265$ cặp.

Chọn B.