Cho số phức z thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Gọi z = x + yi với $x,y\in ℝ$ có điểm biểu diễn trên mặt phẳng (Oxy) là $M\left(x;y\right)\Rightarrow \overline{z}=x-yi.$

Ta có $\left|z-\overline{z}\right|+\left|z+\overline{z}\right|\le 6\iff \left|2x\right|+\left|2y\right|\le 6\iff \left[\begin{array}{l}x+y\le 3,\text{ khi }x\ge 0,y\ge 0\\ -x-y\le 3,\text{ khi }x<0,y<0\\ x-y\le 3,\text{ khi }x\ge 0,y<0\\ -x+y\le 3,\text{ khi }x<0,y\ge 0\end{array}\right.$.

Ta có $P={\left|z-2+3i\right|}^2+{\left|z+4-13i\right|}^2=M{A}^2+M{B}^2,$ với $A\left(2;-3\right),B\left(-4;13\right).$

Gọi I(-1; 5) là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Suy ra $P=M{A}^2+M{B}^2=2M{I}^2+I{A}^2+I{B}^2.$

Biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi IM đạt giá trị nhỏ nhất $\iff IM=IE=\sqrt{5}.$

Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm $2.{\left(\sqrt{5}\right)}^2+{\left(\sqrt{9+64}\right)}^2+{\left(\sqrt{9+64}\right)}^2=156.$

Chọn A.