Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1 -3 - 4i| = 1 và |z2 - 3 - 4i| = 1/2

* Hướng dẫn giải

Chọn B.

Có $\left|z_2-3-4i\right|=\frac{1}{2}\iff \left|2z_2-6-8i\right|=1.$

Gọi $A\left(x_1;y_1\right),C\left(x_3;y_3\right),M\left(a;b\right)$ lần lượt là các điểm biểu diễn $z_1,2z_2,z.$

Ta có: $A\left(I;1\right):{\left(x-3\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=1,$ với I(3; 4).

$C\left(J;1\right):{\left(x-6\right)}^2+{\left(y-8\right)}^2=1,J\left(6;8\right)$

$M\in \Delta :3x-2y=12$

Khi đó: $P=\left|z-z_1\right|+\left|z-2z_2\right|+2=MA+MC+2.$

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=MA+MC+2$ khi A, C chạy trên 2 đường tròn cố định (I; 1) và (J; 1) nằm cùng phía với đường thẳng $\Delta :3x-2y=12$ và điểm M thuộc đường thẳng $\Delta :3x-2y=12.$

Gọi đường tròn đối xứng với (I; 1) qua đường thẳng $\Delta :3x-2y=12$ là (I'; 1). Suy ra $I\text{'}\left(\frac{105}{13};\frac{8}{13}\right).$

Vì A' đối xứng với A qua $\Delta$ nên $MA+MC=MA\text{'}+MC\ge A_1\text{'}{C}_1=II\text{'}-I\text{'}{A}_1\text{'}-I{C}_1=II\text{'}-2$ nên $P_{\min }=JI\text{'}=\frac{\sqrt{9945}}{13}.$