Cho hàm số f(x) liên tục trên R và đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại

Chọn A.

Gọi $\alpha ;\beta ;\gamma$ là các điểm cực trị của hàm số y = f(x). Có $\alpha ;\beta ;\gamma \in \left[a;c\right].$

Xét hàm số $h\left(x\right)=f^2\left(x\right)+m,$ có $h\text{'}\left(x\right)=2f\text{'}\left(x\right).f\left(x\right).$

$h\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=0\\ f\text{'}\left(x\right)=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=a\\ x=b\\ x=0\\ x=c\\ x=\alpha \\ x=\beta \\ x=\gamma \end{array}\right.$ các nghiệm này đều thuộc [a; c].

Ta có $f\left(a\right)=f\left(b\right)=f\left(0\right)=f\left(c\right)=0;f\left(\alpha \right)=-3;f\left(\beta \right)=2;f\left(\gamma \right)=-6$ nên

 $h\left(a\right)=h\left(b\right)=h\left(0\right)=h\left(c\right)=m;h\left(\alpha \right)=m+9;h\left(\beta \right)=m+4;h\left(\gamma \right)=m+36.$

Vậy $\underset{\left[a;c\right]}{\max }h\left(x\right)=m+36,\underset{\left[a;c\right]}{\min }h\left(x\right)=m\Rightarrow \underset{\left[a;c\right]}{\max }g\left(x\right)=\max \left\{\left|m+36\right|;\left|m\right|\right\}$.

TH1: $m>0;\underset{\left[a;c\right]}{\max }g\left(x\right)=\left|m+36\right|=m+36,$ khi đó $m+36=2021\iff m=1985.$

TH2: $m+36<0\iff m<-36;\underset{\left[a;c\right]}{\max }g\left(x\right)=\left|m\right|=-m,$ khi đó $-m=2021\iff m=-2021.$

TH3: $m<0<m+36\iff -36<m<0;\underset{\left[a;c\right]}{\max }g\left(x\right)=\max \left\{-m;m+36\right\}\stackrel{m\in \left(-36;0\right)}{\ne }2021$ nên không tồn tại giá trị của

Vậy $S=\left\{1985;-2021\right\}.$