Cho hàm số bậc bốn y = f(x) có đồ thị là đường cong (như hình vẽ bên dưới)

Tịnh tiến đồ thị sao cho $x_2$ trùng với gốc tọa độ ta được hình vẽ sau:

Ba điểm cực trị $x_1;x_2;x_3$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng có công sai là 2.

Suy ra: $x_1=-2;x_2=0;x_3=2.$

Gọi phương trình đồ thị trên có dạng $y=a{x}^4+b{x}^2+c\left(a\ne 0\right).$

$y\text{'}=4a{x}^3+2bx$

Hàm số đạt cực trị tại $x_1=-2;x_2=0;x_3=2$ nên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}y\text{'}\left(x_1\right)=0\\ y\text{'}\left(x_2\right)=0\\ y\text{'}\left(x_3\right)=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-32a-4b=0\\ c=0\\ 32a+4b=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}c=0\\ 32a+4b=0\end{array}\right..$ Chọn $a=1;b=-8;c=0.$

Suy ra: $y=x^4-8x^2$

$S_1=\underset{-2}{\overset{0}{\int }}\left(-x^4+8x^2\right)=\frac{124}{15}.$        $S_2=2\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x^4-8x^2+16\right)=\frac{512}{15}.$

Tỷ số: $\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{224}{15}}{\frac{512}{15}}=\frac{7}{16}.$