Cho các số phức z1, z2, z3 thỏa mãn |z1| = |z2| = 2|z3| = 2 và

Ta có: |z₁| = |z₂| = 2 Þ OA = 2OB; |z₃| = 1 Þ OC = 1.

+) 8(z₁ + z₂)z₃ = 3z₁z₂ Û$\iff 8\left|z_1+z_2\right|=3\left|\frac{z_1{z}_2}{z_3}\right|\iff \left|z_1+z_2\right|=\frac{3}{2}$

Gọi H là trung điểm của AB, biểu diễn số phức , ta có:

+) |z₁ + z₂|² + |z₁ - z₂|² = 2(|z₁|² + |z₂|²)

$\iff \left|z_1-z_2\right|=\frac{\sqrt{55}}{2}\Rightarrow AB=\frac{\sqrt{55}}{2}$

+) 8(z₁ + z₂)z₃ = 3z₁z₂ Û 8z₁z₃ + 8z₂z₃ = 3z₁z₂

_{$\iff z_1{z}_3+z_2{z}_3=\frac{3}{8}{z}_1{z}_2$}

Đặt , suy ra: z₁z₃ + z₂z₃ = 2az₁z₂ Û z₁(z₃ - az₂) = (az₁- z₃)z₂

Þ |z₁||z₃ - az₂| = |az₁- z₃||z₂|

Û |z₃ - az₂|² = |az₁- z₃|² Û$z_2\overline{z_3}+\overline{z_2}{z}_3=z_1\overline{z_3}+\overline{z_1}{z}_3=b$

$A{C}^2={\left|z_3-z_1\right|}^2={\left|z_3\right|}^2+{\left|z_1\right|}^2-\left(z_1\overline{z_3}+\overline{z_1}{z}_3\right)=5-b$

$B{C}^2={\left|z_3-z_2\right|}^2={\left|z_3\right|}^2+{\left|z_2\right|}^2-\left(z_2\overline{z_3}+\overline{z_2}{z}_3\right)=5-b$

Suy ra: AC² = BC² Û AC = BC hay tam giác ABC cân tại C

$CH=OC-OH=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$

Vậy $S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.CH=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{55}}{2}.\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{55}}{16}.$