Cho hàm số y = f (x). Biết rằng hàm số g (x) = ln f (x) có bảng biến thiên

* Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có f (x) = e^{g (x)}.

Từ bảng biến thiên suy ra: g (x) ³ ln 2 Þ e^{g (x)} ³ e^ln2 = 2.

+) f '(x) = g '(x)e^{g (x)}.

Phương trình hoành độ giao điểm của f '(x) và g '(x):

f '(x) - g '(x) = 0 Û g '(x)e^{g (x)} - g '(x) = 0Û

g '(x)(e^{g (x)} - 1) = 0 Û g '(x) = 0

Mặt khác từ bảng biến thiên ta cũng có: g '(x) > 0, "x Î (x₁; x₂); g '(x) < 0, "x Î (x₂; x₃).

Suy ra:$S=\underset{x_1}{\overset{x_3}{\int }}\left|f^{\text{'}}\left(x\right)-g^{\text{'}}\left(x\right)\right|dx=\underset{x_1}{\overset{x_3}{\int }}\left|g^{\text{'}}\left(x\right)e^{g\left(x\right)}-g^{\text{'}}\left(x\right)\right|dx$

$=\underset{x_1}{\overset{x_3}{\int }}\left|g^{\text{'}}\left(x\right)\left(e^{g\left(x\right)}-1\right)\right|dx$

$=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}{g}^{\text{'}}\left(x\right)\left(e^{g\left(x\right)}-1\right)dx-\underset{x_2}{\overset{x_3}{\int }}{g}^{\text{'}}\left(x\right)\left(e^{g\left(x\right)}-1\right)dx$

$=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}\left(e^{g\left(x\right)}-1\right)d\left(g\left(x\right)\right)-\underset{x_2}{\overset{x_3}{\int }}\left(e^{g\left(x\right)}-1\right)d\left(g\left(x\right)\right)$

$={\left.\left(e^{g\left(x\right)}-g\left(x\right)\right)\right|}_{x_1}^{x_2}-{\left.\left(e^{g\left(x\right)}-g\left(x\right)\right)\right|}_{x_2}^{x_3}$

$=\left[\left(e^{g\left(x_2\right)}-g\left(x_2\right)\right)-\left(e^{g\left(x_1\right)}-g\left(x_1\right)\right)\right]-\left[\left(e^{g\left(x_3\right)}-g\left(x_3\right)\right)-\left(e^{g\left(x_2\right)}-g\left(x_2\right)\right)\right]$

$=2.6-\frac{43}{8}-2-2\ln 6+\ln \frac{43}{8}+\ln 2$

$=\frac{37}{8}+\ln \frac{43}{144}\approx \mathrm{3,416.}$