Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn

Đáp án đúng là: D

Ta có ${\left|z+4i\right|}^2=\left|\left(z-4\right)\left(\overline{z}-4i\right)\right|=\left|\left(z-4\right)\left(\overline{z+4i}\right)\right|$

$=\left|z-4\right|\left|\overline{z+4i}\right|=\left|z-4\right|\left|z+4i\right|$

Suy ra |z + 4i| = 0 hoặc |z + 4i| = |z - 4|.

Nếu |z + 4i| = 0 thì z = - 4i : $\left\{\begin{array}{c}\left|z^2\right|={\left|4i\right|}^2=16\\ 2\left|z-\overline{z}\right|=2\left|-8i\right|=16\end{array}\right.$  thỏa mãn.

Nếu |z + 4i| = |z - 4| thì đặt z = x + yi với x, y Î ℝ ta được

$\left\{\begin{array}{c}\sqrt{x^2+{\left(y+4\right)}^2}=\sqrt{{\left(x-4\right)}^2+y^2}\\ x^2+y^2=4\left|y\right|\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x=-y\\ 2{\left|y\right|}^2=4\left|y\right|\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}y=0\\ x=0\end{array}\right.\vee \left\{\begin{array}{c}y=2\\ x=-2\end{array}\right.\vee \left\{\begin{array}{c}y=-2\\ x=2\end{array}\right.$

Vậy có 4 số phức thỏa mãn là 0, 2 - 2i, - 2 + 2i, - 4i.