Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm I(1; 3; 9) bán kính bằng

Đáp án đúng là: B

Ta có I(1; 3; 9) và R = 3. Suy ra d (I, (OMN)) = 3.

Vậy mặt cầu (S) tiếp xúc (OMN) tại A(1; 0; 9).

Gọi tọa độ M(m; 0; 0) và N(0; 0; n).

Ta có $\overrightarrow{AM}=\left(m-1;0;-9\right);\overrightarrow{AN}=\left(-1;0;n-9\right).$

Do A, M, N thẳng hàng nên (m - 1)(n - 9) = 9 (1).

Do IA ^ (OMN) và H là trung điểm MN thì H là tâm đường tròn ngoại tiếp DOMN.

Suy ra K là tâm mặt cầu ngoại tiếp IOMN Þ KH Ì (IMN)

bán kính đường tròn ngoại tiếp DIMN bằng  (đường tròn lớn)

$\frac{1}{2}.IH.MN=\frac{IM.IN.MN}{4.\frac{13}{2}}\iff IM.IN=39$

Û ((m - 1)² + 90)((n - 9)² + 10) = 1521 (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\left\{\begin{array}{c}\left(m-1\right)\left(n-9\right)=9\\ \left({\left(m-1\right)}^2+90\right)\left({\left(n-9\right)}^2+10\right)=1521\end{array}\right.$

Đặt $\left\{\begin{array}{c}u={\left(m-1\right)}^2\\ v={\left(n-9\right)}^2\end{array}\right.$  , ta có hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{c}uv=81\\ \left({\left(m-1\right)}^2+90\right)\left({\left(n-9\right)}^2+10\right)=1521\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}uv=81\\ \left(u+90\right)\left(v+10\right)=1521\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}uv=81\\ 90v+10u=540\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}u=27\\ v=3\end{array}\right.$

Vậy $AM.AN=\sqrt{u+81}.\sqrt{v+1}=12\sqrt{3}.$