Xét tất cả các số thực x, y sao cho với mọi số thực dương a. Giá trị lớn nhất

Đáp án đúng là: C

Ta có:${49}^{9-y^2}\ge a^{4x-{\log }_7{a}^2}\iff {\log }_7\left({49}^{9-y^2}\right)\ge {\log }_7\left(a^{4x-{\log }_7{a}^2}\right)$

Û (9 - y²)log₇ 49 ³ (4x - log₇ a²)log₇ a

Û 2(9 - y²) ³ 2(2x - log₇ a).log₇ a (1)

Đặt t = log₇ a, khi a > 0 thì t Î ℝ, (1) trở thành t² - 2x.t + 9 - y² ³ 0 (2)

(1) đúng với mọi a > 0 Û (2) đúng với mọi t Î ℝ

Û D¢ = x² - 9 + y² £ 0 Û x² + y² £ 9

+) Xét (4x - 3y)² £ (16 + 9)(x² + y²)

Þ (4x - 3y)² £ 225 Þ 4x - 3y £ 15

+) Suy ra P = x² + y² + 4x - 3y £ 9 + 15 = 24 đẳng thức xảy ra khi

$\left\{\begin{array}{c}\frac{x}{4}=\frac{y}{-3}\\ x^2+y^2=9\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x=\frac{12}{5};y=-\frac{9}{5}\\ x=-\frac{12}{5};y=\frac{9}{5}\end{array}\right.$

Vậy GTLN của P bằng 24.