Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn mô đun của z bình =mô đun của z-z ngang

Đáp án đúng là: A

Gọi z = a + bi với a; b Î ℝ

Ta có:$\left|z^2\right|=\left|z-\overline{z}\right|\iff a^2+b^2=2\left|b\right|\left(*\right)$

Mặt khác $\left|\left(z+2\right)\left(\overline{z}+2i\right)\right|={\left|z-2i\right|}^2$   (**)

Vì $\overline{\overline{z}+2i}=z-2i$  nên $\left|\overline{z}+2i\right|=\left|z-2i\right|$

Nên từ (**) $\iff \left[\begin{array}{c}\left|z-2i\right|=0\Rightarrow z=2i\\ \left|z+2\right|=\left|z-2i\right|\end{array}\right.$

Với |z - 2i| = 0 Þ z = 2i (thoả mãn (*))

Với |z + 2| = |z - 2i| Þ (a + 2)² + b² = a² + (b - 2)²

.Û a = -b thay vào (*) ta được:

b² + b² = 2|b| Û b² = |b| $\iff \left[\begin{array}{c}b=0\\ b=1\\ b=-1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}a=0\\ a=-1\\ a=1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}z=0\\ z=-1+i\\ z=1-i\end{array}\right.$

Vậy có tất cả 4 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.