Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm I(4; 1; 2) bán kính bằng

Đáp án đúng là: A

Ta có: d (I, (OMN)) = 2 nên mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) tại điểm A(4; 1; 0), đồng thời đường thẳng MN tiếp xúc với (S) cũng tại điểm A(4; 1; 0) do MN Ì (Oxy)

Gọi M(m; 0; 0) và N(0; n; 0), m, n > 0

Do A Î MN nên $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AN}\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}m-4=-4k\\ -1=k\left(n-1\right)\end{array}\right.$

Þ (m - 4)(n - 1) = 4 $\iff m=\frac{4n}{n-1},n-1\ne 0$

Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn OI:

$4x+y+2z-\frac{21}{2}=0$

Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn OM: $x=\frac{m}{2}$ .

Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn ON:$y=\frac{n}{2}$ .

Do đó tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN là $J\left(\frac{m}{2};\frac{n}{2};\frac{-n^2+6n-21}{4n-4}\right)$

Theo giả thuyết cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN có bán kính bằng $\frac{7}{2}$ nên $OJ=\frac{7}{2}$

$\iff O{J}^2=\frac{49}{4}$

$\iff \frac{4n^2}{{\left(n-1\right)}^2}+\frac{n^2}{4}+\frac{{\left(n^2-6n+21\right)}^2}{16{\left(n-1\right)}^2}=\frac{49}{4}$

Û n⁴ - 4n³ - 10n² + 28n + 49 = 0

$\iff n=1\pm 2\sqrt{2}$