Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số

Đáp án đúng là: D

Xét hàm số y = x⁴ + 2ax² + 8x trên ℝ.

Ta có: f '(x) = 4x³ + 4ax + 8 (*)

f '(x) = 0 Û 4x³ + 4ax + 8 = 0 $\iff a=-x^2-\frac{2}{x}$  (Do x = 0 không thỏa mãn nên x ¹ 0)

Xét hàm số: $g\left(x\right)=-x^2-\frac{2}{x}$  trên ℝ \ {0}

 $g\text{'}\left(x\right)=-2x+\frac{2}{x^2}.$

$f\text{'}\left(x\right)=0\iff -2x+\frac{2}{x^2}=0\iff x=1.$

Bảng biến thiên của hàm số g (x):

Dễ thấy phương trình f (x) = 0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt, trong đó có ít nhất một nghiệm đơn x = 0 nên yêu cầu bài toán

Û Hàm số f (x) có đúng một điểm cực trị 

Û Phương trình a = g (x) có một nghiệm đơn duy nhất Û a ³ -3.

Do a nguyên âm nên a Î {-3; -2; -1}.

Vậy có 3 giá trị nguyên âm của tham số a thỏa mãn yêu cầu bài toán