Xét tất cả số thực x, y sao cho với mọi số thực dương a. Giá trị

Đáp án đúng là: A

Giả sử x, y thỏa với mọi số dương a

Ta có P = x² + y² − 4x + 8y  x² + y² − 4x + 8y − P = 0

Suy ra điểm M(x; y) thuộc đường tròn tâm I(2; −4) và bán kính $\sqrt{2^2+{(-4)}^2+P}$  =$\sqrt{20+P}$

(5 − y²).3 ≥ (6x − 3t)t

$\iff$−3t² + 6xt − 15 + 3y² ≤ 0 (với t = log₃a)

Theo đề bài ta có đúng với mọi số thực dương a nên −3t² + 6xt − 15 + 3y² ≤ 0 đúng với mọi t Î ℝ

Do đó $\left\{\begin{array}{c}-3<0\\ {\left(3x\right)}^2+3(-15+3y^2)\le 0\end{array}\right.$

9x² +9y² − 45 ≤ 0 x² + y² ≤ 5

Suy ra tập hợp các điểm M(x; y) là hình tròn tâm O(0; 0) và bán kinh R₂ =$\sqrt{5}$

Vậy để tồn tại cặp (x; y) thì đường tròn (I; R₁) và hình tròn (O; ) phải có điểm chung

Do đó IO ≤ R₁ +$\sqrt{5}$ $\iff$$\sqrt{2^2+{(-4)}^2}$ ≤$\sqrt{20+P}+\sqrt{5}$

$\iff$$\sqrt{5}$≤$\sqrt{20+P}$$\iff$ P ≥ −15

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là −15.