Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn mô đun z bình = mô đun z-z ngang

* Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

$\left|(z-2).\left(\overline{z}-2i\right)\right|$ =${\left|z+2i\right|}^2$ $\iff$$\left|z-2\right|\left|\overline{z}-2i\right|$  =$\left|z+2i\right|\left|\overline{z}-2i\right|$

$\iff$$\left|\overline{z}-2i\right|$.$\left(\left|z-2\right|-\left|z+2i\right|\right)$  = 0

Trường hợp 1.

$\left|\overline{z}-2i\right|$= 0 $\iff$$\overline{z}$  = 2i $\iff$  z = −2i

Trường hợp 2.

$\left|z-2\right|-\left|z+2i\right|$= 0$\iff$$\left|z-2\right|$ = $\left|z+2i\right|$  = 0

Đặt z = x + y.i ta có z − 2 = x − 2 + y.i và z + 2i = x + (y+2).i

Khi đó

$\left|z-2\right|$=$\left|z+2i\right|$$\iff$ (x − 2)² + y² = x² +(y + 2)²

 $\iff$x² − 4x + 4 + y² = x² + y² + 4y + 4

$\iff$−4x = 4y x = −y

Lại có:$\left|z^2\right|$ =$\left|z-\overline{z}\right|$$\iff$ x² + y² = 2$\left|y\right|$

$\iff$2y² = 2$\left|y\right|$$\iff$ 2$\left|y\right|$ .$\left(\left|y\right|-1\right)$  = 0

$\iff$y = 0 hoặc y = ±1

Do đó ta có các số z Î {0; 1 − i; −1 + i; −2i} thỏa mãn.

Vậy có 4 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán