Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông

Đáp án đúng là: C

Gọi I là trung điểm của BC.

Ta có:

+ DABC là tam giác vuông cân tại A nên AI ^ BC

+ ABC.A’B’C’ là khối lăng trụ đứng nên AA’ ^ BC

Suy ra BC ^ (AA’I) Þ BC ^ A’I.

Do đó, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng góc giữa A’I và AI.

Mà DAA’I vuông tại A nên ta có $\widehat{AIA\text{'}}$ là góc nhọn.

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng $\widehat{AIA\text{'}}$= 60°

Trong tam giác vuông AA’I, ta có AI = $\frac{AA\text{'}}{\tan 60°}$= $\frac{2a}{\sqrt{3}}$.

ABC là tam giác vuông cân tại A nên:

BC = 2.AI = $\frac{4a}{\sqrt{3}}$, AB = AC = $\frac{BC}{\sqrt{2}}$= $\frac{2a\sqrt{6}}{3}$.

Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là:

V = AA’.S_∆ABC

= AA’.$\frac{1}{2}$AB.AC

= $\frac{1}{2}$.2a.${\left(\frac{2a\sqrt{6}}{3}\right)}^2$= $\frac{8a^3}{3}.$